SOLIDOS CRISTALINOS

Densidad linear

3.8 Considere una celda cúbica centrada en el cuerpo como la del cobre. calcule la distancia repetitiva y la densidad linear para la dirección 111.

Los procesos de deformación de los materiales se producen en la dirección en la cual tanto la densidad atómica lineal como la planar son altas. La deformación se produce debido al deslizamiento de las dislocaciones en esa dirección.

El vector de Burger será menor cuando los átomos están más próximos entre sí.

Para realizar el cálculo se considerarán sólo aquéllos átomos cuyos centros caigan sobre la línea o plano que se está analizando. Si algún átomo intersecta parcialmente el plano o la línea y su centro no está incluido no será considerado en el cálculo

Esquema

Ver figura 3.8

Consideremos que partimos del punto (0,0,0) en la dirección (1,1,1) . Podemos observar que no intersectamos ningún átomo hasta no llegar al de la posición (1,1,1). Por lo tanto, la distancia en que se repetirán los átomos será igual al de la diagonal del cubo

Drep= 31/2 a=

si a= 3.62 x 10-10 m

D= 6.27 x 10-10 m

La densidad lineal es la recíproca de la distancia repetitiva:

l = 1/Drep= 1.59 x 109 m-1

Cálculo de la densidad planar

3.9 Calcular la densidad para los planos (010) y( 020) en una celda elemental de manganeso (cúbica simple) de 3.84 m-1 de arista.
 
 

Resolución:

Para el plano (010)

Area planar = a2

Area planar= 1.44 x 10-19

densidad planar= número de átomos =            1 átomo .=           6,94 x 10 18 m-2

                            área de la cara de la celda    área cara de la celda
 
 

Para el plano (020) la densidad es 0 pues no intersecta ningún átomo
 
 

Esquema:

Ver Figura 3.9
 
 

Sitios interticiales

3.11 Cuál es el radio (r) de un átomo que encaja justamente en el sitio octaédrico de la celda cúbica centrada en las caras del cobre sin perturbar el resto de la red.

Esquema

Ver Figura 3.11
 
 

Los átomos de la cúbica centrada en las caras del cobre se tocan a lo largo de la diagonal de la cara. La diagonal tiene una longitud de 4 R (R=radio at. del cobre= 1.278 x 10-10m)

diag2= 2 a2 pero a=2 R + 2r=
 
 

luego si 4R= 21/2 a= 21/2 2(R + r)
 
 

r = 21/2R - R= 5.293 x 10 11 m

Suponga que en vez del radio del cobre conoce la arista de la celda elemental a= 3.6151 x 10-10 m

4 R= 21/2 a
 
 

r= a - 2R

       2

r= 5.293 x 10 11 m

Proporción en las aleaciones

La mayoría de los materiales metálicos que utilizamos no son puros sino que forman aleaciones. Es importante saber calcular la densidad de una aleación y conocida ésta poder calcular la proporción de sus componentes.

Problema:

3.6 Una aleación de tungsteno contiene átomos substitucionales de vanadio que tienen las siguientes propiedades:

Densidad: 16,912 g/cm3

Arista de la celda elemental: 3.1378 x 10 8 cm

Atomos por celda (cúbica centrada en el cuerpo) = 2

Calcular la fracción de vanadio en la aleación.

Los átomos gramo de vanadio y de tungsteno

Atomo gramo de vanadio= 50,941 g/mol

Atomo gramo de tungteno= 183,85 g/mol

Si F es la fracción de vanadio y 1-F la fracción de tungsteno

Densidad= 2 part (F AG V + [1-F] AGW)

                       No Av Vol celda

de donde

(F AG V + [1-F] AGW)=Dens x No A x Vol celda

                                                2 part

F(AG V - AGW)= - Dens x No A x Vol celda - AGW

                                            2 part

F= (Dens/2 x No A x Vol celda) - AGW = 19,94 %

                        (AG V - AGW)
 
 

DEFECTOS






Densidad de dislocación en cobre.
 
 

4.2 Una densidad típica de dislocación del cobre es 106 cm/ cm3 . Si las dislocaciones en 1000 gr de cobre estuvieran localizadas una a continuación de la otra qué distancia ocuparían.

El volumen de la muestra es de masa/densidad= 111,98 cm3

la distancia ocupada por las dislocaciones sería
 
 

L = V x Dens Dis= 118,98 cm3 x 106 cm/cm3= 1,18 x 106 m
 
 

Vector de Burgers

4.3 Dada una estructura de una celda cúbica centrada en el cuerpo con una arista de 4 x 10-10 m y que tiene una dislocación de borde en la familia de planos (2,2,2) . Determine el vector de Burgers.

El vector de Burgers estará determinado por la distancia interplanar entre los planos (2,2,2).

d222= a0/ (h2+ k2+ l2) d222= 1.15 x 10-10 m

El vector de Burgers tiene una dirección [1,1,1] y una longitud de d222.

Ver Burgers

Densidad de planos de deslizamiento

4.4 La densidad planar del plano (1,1,2) en la celda cúbica centrada en el cuerpo del hierro es de 9,94 átomos/cm2 . Calcule la densidad planar del plano (1,1,0) y los espacios interplanares de ambos el (1,1,2) y el (1,1,0). Sobre cuál tipo de plano ocurriría un deslizamiento con mayor probabilidad.

Es importante tener en cuenta que un deslizamiento generalmente ocurrirá en las direcciónes con mayor densidad y en los planos de mayor densidad. Las direcciones de mayor densidad son aquéllas en las que el vector de Burgers es más corto, y los planos de mayor densidad serán los más favorables para deslizar.
 
 

Esquemas

Ver Fig. 4.4

El plano (110) pasa a través del átomo central de la celda. El área de dicho plano será

d x a =21/2 arista x arista= 1,16 x 10-15 cm2

La densidad planar será el número de partículas dividido el área del plano
 
 

Densidad 110= 2/área110 = 1,72 x 1015 átomos/ cm2
 
 

el espacio interplanar para el plano (110) es
 
 

d110 = a/(12+12+ 02)1/2= 2.03 x 10-8 cm

Para el (112) la densidad planar no es tan sencilla de determinar. Para visualizarlo tracemos cuatro celdas cúbicas centradas en el cuerpo adyacentes
 
 

Esquema

Ver Fig. 4.4b

Observamos que los cuatro vértices del plano están compartidos por 4 planos y que los laterales están compartidos por 2, luego el número de partículas será 4 x ¼ + 2 x ½= 2

El área del plano estará determinada por la base que es la diag. de la cara y la altura que es la diag. del cubo
 
 

Area112= (21/2 x a) x (31/2 x a )= 2.01 x 10-15 cm2

Densidad= 2 part/área112= 9.94 x 1014 átomos/cm2

la distancia interplanar es

d112= a/(12+12+22)1/2 d112= 1.17 x 10-8 cm

Como la densidad planar y el espacio interplanar en el (110) son mayores que en el (112) el plano (110) será el que deslice preferentemente.
 
 

Carbono intersticial en el hierro.
 
 

4.10 En la celda cúbica centrada en las caras del hierro (a= 3,571 x 10-10m)los átomos de carbono se ubican el los sitios intersticiales octaédricos con coordenadas (1/2, 0,0) mientras que los átomos de carbono se ubican en sitios (0, 0.5, 0.25) en la cúbica centrada en el cuerpo ( a= 2,866 x 10-10 m). El átomo de carbono tienen un radio de 0.71 x 10-10 m . Dónde se encontrará mayor distorción en la red CCcaras o en la CCcuerpo.

Esquema

Ver Fig. 4.10
 
 
 
 

Densidad de vacancias (centrado en el cuerpo)
 
 

4.7 Determine el número de vacancias n necesarias para que una celda cúbica centrada en el cuerpo tenga una densidad de 7,87 g/cm3 si la arista de la celda elemental es de 2,866 x 10 8 cm.

Número de partículas por celda elemental debería ser 2. Calcularemos el número de partículas, si existen vacancias ese número será menor que 2 en una fracción F que determinaremos (F=(2-N)/2)
 
 

Esquema
 
 
 
 

Densidad= No part. x átomo gramo

                Volumen celda x No de Avogadro

N=Dens x V x No Avog.= 1,998

            Atomo gramo

Luego F= (2-N)/2= 0.0010

El número de vacancias n será igual al número de partículas por unidad de volumen por el factor F.

n= 2/V F = 8,54 x 10 19 vacancias/cm3
 
 
 
 

b) La estructura cúbica centrada en el cuerpo del litio tiene una arista de 3.5089 x 10-8cm y contiene una vacancia cada 200 celdas. Calcule el número de vacancias por cm3 y la densidad del Li.
 
 
 
 
 
 

F= 1 vac .            =                     0.0025

200 celdasx No part
                     celdas
 
 
 
 

N= No part x F n= 1.16 x 1020 1/cm3

        Vol
 
 

F= No part- N N= (1-F) No part= 1.995

        No part.
 
 

La densidad es entonces:

Dens=Nx Peso at. Dens= 0.53 g/cm3 Nótese qué liviano es el litio

                Vx NoAv.
 
 

Densidad de vacancias (centrado en las caras)

4.8 La densidad de la muestra de paladio que cristaliza como cúbico centrado en el cuerpo es 11,98 g/cm3 y su arista es de 3,89 x 10-8 cm. Calcule la fracción de vacancias F y el total de números de vacancias por cm3 del paladio.El peso atómico del paladio es 106.4 g/mol,.
 
 

La densidad del material queda definida por

Dens.= N.x Peso Atom.

                V. No Av.
 
 

N= Dens. V. No Av.             N=3,99

            Peso Atom.
 
 

En vez de 4 da 3.99 luego la fracción de vacancias es

F= No part- N      F= 0,0018775

    No de part
 
 

Èl número de vacancias (n) será entonces:
 
 

n= No part x Fn           n= 1,28 x 10 20  cm3
            V
 

Aumento de dureza por sustitución de átomos de la red

Suponga que se sustituye 1% de átomos de cobre (sin exceder el límite de solubilidad) con cada uno de los siguientes elementos. Con cuál de ellos se espera obtener mayor dureza y con cuál una solubilidad ilimitada?

Elemento                     Radio atómico/10-10 m                                 Estructura cristalina

Cobre                                 1,278                                                       CCC

Oro                                     1.442                                                       CCC

Manganeso                         1.12                                                         CS

Stroncio                             2.151                                                        CCC

Sílice                                 1.176                                                         C  (diam)

Cobalto                             1.253                                                         HC
 
 

El endurecimiento que produce está relacionado a la proporción de red que distorcionan y por lo tanto a la diferencia de radios entre los átomos. Podemos calcular la diferencia de porcentajes usando los datos . Importa la diferencia de magnitud pero no el signo. Se observa que el estroncio provoca una gran distorsión (68%). Por lo tanto adicionando 1% de Sr se adquirirá mayor dureza.

Para seleccionar el que tenga mayor solubilidad aplicamos las reglas de Hume Rothery:

a)Que los átomos no sean diferentes en más del 15%

b) Que deben formar la misma estructura cristalina

c) que deben configuración electrónica similar

d) que deben tener electronegatividad similar.

De la lista podemos eliminar el Sr pues la diferencia en el radio es mayor que el 15%

De la lista de estructuras podemos eliminar manganeso, sílice y cobalto, que tienen diferente estructura cristalina

Queda únicamente el oro, que tiene similar electronegatividad y configuración electrónica similar. De hecho a bajas temperaturas se forman estructuras intermetálicas en las que el cobre se ubica en el centro de las caras y el oro en los vértices. Como está cerca del límite admisible del 15 % (12,8%) a altas temperaturas (donde la energía térmica puede compensar la tendencia al orden), puede lograrse la solubilidad completa.