1. Definición de trabajo
    1. Ejercicio 1
    2. Ejercicio 2
  2. Definición de circulación
    1. Ejercicio 1
    1. Ejercicio 2
  3. Curvas Equipotenciales

Autores:  

Lic. Viviana Costa       

Cta. Cfico. Rossana Di Domenicantonio   

El objetivo de este taller es el de ayudar al alumno en la comprensión, apoyados en la visualización, de conceptos físicos relacionados con campos vectoriales.

>with(linalg):>with(plots):>with(plottools):

Trabajo

Definición:

El Trabajo realizado por un campo de fuerzas F para mover una partícula de A a B que se desplaza sobre la trayectoria C es:

[Maple OLE 2.0 Object] =   [Maple OLE 2.0 Object]

El ángulo [Maple OLE 2.0 Object]  es el formado por los vectores F y T ( tangente a la curva)

En los siguientes ejercicios analizaremos si  el trabajo  es positivo, negativo o nulo, empleando la gráfica .

Nota: el signo del trabajo dependerá solamente del signo del [Maple OLE 2.0 Object] .

Para ángulos agudos el valor del coseno es positivo, y para ángulos obtusos el valor del  coseno es negativo.

Veamos primero en un ejemplo el signo del trabajo determinado graficamente:

>G1:= [0,x]:
>g1:= fieldplot(G1,x=0..3,y=0..3,arrows=SLIM,grid=[9,9], color=red,thickness=3):
>a1:= arrow([1,1],[2,2],0.02,0.2, .1, color=black):
>a2:= arrow([0.5,0.5],[2,0.5],0.02,0.2, .1, color=blue):
>display({g1,a2,a1},scaling=CONSTRAINED);

[Maple Plot]

En la grafica observamos que la curva negra forma con los vectores del campo un ángulo agudo, es decir la fuerza que ejerce el campo contribuye al movimiento de la partícula.

Entonces el trabajo realizado por  la  fuerza es positivo.

La curva azul está orientada ortogonalmente a los vectores del campo, entonces el trabajo es nulo. No hay fuerza que contribuya al movimiento de la partícula.

Ahora calculemos lo observado:

Si recorro la trayectoria negra, que tiene ecuacion y=x, y quiero calcular el trabajo realizado por el campo sobre la particula que se mueve de A(1,1) hacia B(2,2) entonces

[Maple OLE 2.0 Object]

Ejercicio 1:

>G1:= [x,y]:a3 := arrow([1.1,1.6],[1,1.5],0.02,0.2, .4, color=green):
>g1:= fieldplot(G1,x=0..2,y=0..2,arrows=SLIM,grid=[9,9], color=red,thickness=2):
>a1:= arrow([1,1],[1.5,1.5],0.02,0.2, .1, color=black):
>a2:= arrow([0.5,0.5],[1.5,0.5],0.02,0.2, .1, color=blue):
>b1:= plot(0.5*t^2+1,t=0..2,0..2,thickness=4,color=green):
>display({g1,a2,a1,a3,b1},scaling=CONSTRAINED);

[Maple Plot]

Ejercicio 2

>G22:=[y,x]:
>fieldplot(G22,x=-3..3,y=-3..3,arrows=SLIM,grid=[9,9], color=green,thickness=3);

[Maple Plot]

Circulación

Definición:

Se define Circulación de un campo vectorial a la integral de línea sobre una trayectoria cerrada. 

Para campos conservativos (rot(F)=0) , la circulación es nula sobre cualquier curva cerrada.

Analizar sobre la gráfica de los campos vectoriales si la circulación es nula sobre cualquier curva cerrada, observando como es el trabajo (mirando el ángulo formado entre el campo y el tangente al desplazamiento).

Ejemplo

>G6:= [0,-2]:
>c1:= fieldplot(G6, x=0..4, y=0..4, arrows=SLIM, grid=[8,8], color=blue, thickness=2):
>l1:= line( [2,2], [2,3], color=black, linestyle=3, thickness=2):
>l2:= line( [2,2], [3,2], color=black, linestyle=3, thickness=2):
>l3:= line( [3,2], [3,3], color=black, linestyle=3, thickness=2):
>l4:= line( [2,3], [3,3], color=black, linestyle=3, thickness=2):
>a1:= arrow( [2.5,2], [2.7,2], 0.02, 0.2, .3, color=black):
>display({c1,l1,l2,l3,l4,a1}, scaling=CONSTRAINED);
[Maple Plot]


Obsevamos que el trabajo sobre dos de las lineas es nulo, ahi el campo es ortogonal a la dirección de la curva.

Y sobre las otras dos lineas el trabajo es igual pero con signo opuesto. Entonces la circulación es nula.

El campo es conservativo, y el rotor es cero.

Recordar que si imaginamos una ruedita con aspas sumergida en el fluido, en este caso la  ruedita se desplazará por el fluido sin rotar.

Compruebe que el  rotor de dicho campo es cero con el comando curl.

Ejercicio 1

>G6:= [0, 4*x]:
>c1:= fieldplot( G6, x=0..4, y=0..4, arrows=SLIM, grid=[8,8], color=blue, thickness=2):
>l1:= line( [1,1], [1,3], color=black, linestyle=3, thickness=2):
>l2:= line( [1,1], [3,1], color=black, linestyle=3, thickness=2):
>l3:= line( [3,1], [3,3], color=black, linestyle=3, thickness=2):
>l4:= line( [1,3], [3,3], color=black, linestyle=3, thickness=2):
>a1:= arrow( [1.5,1],[2.7,1],0.02,0.2, .3, color=black):
>display({c1,l1,l2,l3,l4,a1},scaling=CONSTRAINED);

[Maple Plot]

Ejercicio 2    

>G2:=[2*x, 2*y]:
>a:=fieldplot( G2, x=-3..3, y=-3..3, arrows=SLIM, grid=[9,9], color=red, thickness=3):
>display(a);

[Maple Plot]

Graficaremos dos curvas equipotenciales sobre el campo:

>b:= implicitplot( x^2+y^2=2, x=-2..2, y=-2..2, thickness=2, color=green):
>c:= implicitplot( x^2+y^2=9, x=-3..3, y=-3..3, thickness=2, color=blue):
>p1:= pieslice( [3,0], 0.1, 0..2*Pi, color=black):
>p2:= pieslice( [1,1], 0.1, 0..2*Pi, color=black):
>p3:= pieslice( [2,sqrt(5)], 0.1, 0..2*Pi, color=black):
>display(a, b, c, p1, p2, p3);

[Maple Plot]