CÁLCULO DE VOLUMENES DE REVOLUCIÓN

El objetivo del taller es que los alumnos visualicen los sólidos a los cuales les calculan  su volumen y así lograr un mejor entendimiento y comprensión.

Además de la visualización de volúmenes logrados al girar áreas sobre un eje de rotación, poseen en este taller  instrucciones del planteo de la integral que calcula su volumen como también el resultado del mismo.  

La guía posee las instrucciones para que los alumnos las reutilicen y modifiquen a su necesidad.

  1. Definición de sólido de revolución
    1. Representación en maple
  2. Volumen de un sólido de revolución
    1. Volumen de un sólido de revolución con cavidades
  3. Ejemplos
  4. Ejercicios


Autores:  

Lic. Viviana Costa       

Cta. Cfico. Rossana Di Domenicantonio



SOLIDO DE REVOLUCION 

DEFINICIÓN

Al rotar un arco de curva C alrededor de una recta L (EJE DE ROTACIÓN), se genera una superficie llamada

de revolución.  

Esta superficie es frontera de un sólido, llamado Sólido de Revolución. 

Cargamos los paquetes a usar

>restart;
>with(Student[Calculus1]):with(plots):with(plottools):


Sólidos de revolución sencillos

Veamos algunos sólidos sencillos, generándolos a partir de una sentencia del Maple 

Por ejemplo  al rotar el segmento de recta  y = x  con x entre 0 y 2 alrededor del eje x se genera un cono. 

>VolumeOfRevolution(x, x = 0 .. 2, output= plot,thickness=3,title=``);
Plot
 

    Ejercicio para practicar:

Volumen de un sólido de revolución

Usaremos para el cálculo del volumen de revolución el llamado método de discos

Observando que las secciones transversales que se generan son discos de radio r = f(x) conArea = Typesetting:-delayDotProduct(Pi, radio^2)y recordando  que el volumen de un cilindro es V = Typesetting:-delayDotProduct(altura, Area) and Typesetting:-delayDotProduct(altura, Area) = altura*Typesetting:-delayDotProduct(Pi, radio^2)

Si rotamos la función y = f(x) alrededor del eje x , con x entre a y b, la integral  siguiente 

V = int([a]^b*Pi(f(x))^2, x) 

calcula  el volumen del sólido generado. 

Con la sentencia anterior podemos calcular el volumen poniendo en la opción  output = integral y con la opción  output = value calculamos  el valor numérico de la integral. 

Por ejemplo:  

>VolumeOfRevolution(1-x^2,x=0..1,output=plot,thickness=3);
Plot
 
>VolumeOfRevolution(1-x^2,x=0..1,output=integral);
Int(Pi*(-1+x^2)^2, x = 0 .. 1)
>VolumeOfRevolution(1-x^2,x=0..1,output=value);
8/15*Pi  

 

Otro ejemplo: 

Sea la región limitada por sqrt(x) con x entre 0 y 2 y el eje x

Graficamos la región. 

>b:=plot( sqrt(x), x=0..2, y=0..2.1, thickness=2, color=blue):
>l1:=line( [2,sqrt(2)], [2,0], color=red, linestyle=1, thickness=2):
>a:=seq( line([i*0.2, sqrt(i*0.2)], [i*0.2,0], color=red, linestyle=2, thickness=2), i=1..9):
>ejex:=line( [0,0], [2,0], color=red, linestyle=1, thickness=2):
>display( a, b, l1, ejex, scaling=CONSTRAINED);
Plot

Hacemos girar esa región alrededor del eje x.  Notar que los radios de las secciones transversales que se generan son círculos de radio  r = sqrt(x) 

Veamos su gráfica  y el cálculo de su volumen. 

>VolumeOfRevolution(sqrt(x),x=0..2,color=cyan,output=plot,thickness=3);

Plot
  
>VolumeOfRevolution( sqrt(x), x=0..2, output=integral);
Int(Pi*x, x = 0 .. 2) 
>VolumeOfRevolution( sqrt(x), x=0..2, output=value);
2*Pi 

Ejercicio: 

Volumen de un sólido de revolución con cavidades 

En los siguientes ejemplos desarrollados veremos dos dificultades en el cálculo del  volumen, una es la rotación de un área a través de otro eje que no es el eje coordenado, y la otra dificultad es el cálculo de volúmenes de sólidos con cavidad, cuyas secciones transversales son coronas o arandelas.

Tendrá más exito en hallar el volumen si le dedica tiempo necesario al dibujo de las figuras.

No improvise!! Sólo es necesario tener en cuenta cómo hallar el área de una sección transversal del sólido. 

Observación: La variable de integración depende del eje alrededor del cual gira la región; la rotación alrededor del eje x requiere integración respecto de la variable x ; mientras que la rotación alrededor del eje y requiere integración respecto de la variable y.

Primer ejemplo:

Sea la region limitada por y=x e  

Observe la región a girar en el gráfico siguiente

>VolumeOfRevolution(sqrt(x),x=0..2,axis=vertical,output=plot,thickness=3);
Plot
 
>d:=plot({x,x^2},x=0..1,color=[red,green], thickness=2,scaling=CONSTRAINED):
>f:=seq(line([i*0.1,i*0.1],[i*0.1,(i*0.1)^2], color=red, linestyle=3,thickness=2),i=1..9):
>d1:=plot({-x,-x^2},x=0..1,color=[red,green],thickness=2,scaling=CONSTRAINED):
>f1:=seq(line([i*0.1,-i*0.1],[i*0.1,-(i*0.1)^2], color=red, linestyle=3,thickness=2),i=1..9):
>r1:=line([0.75,0.75],[0.75,0],color=black,linestyle=1,thickness=2):
>r2:=line([0.45,0.45^2],[0.45,0],color=black,linestyle=1,thickness=2):t1:=textplot([1,0.35,`radio mayor`],font=[TIMES,ITALIC,10],color=black):
>t2:=textplot([0.55,0.1,`radio menor`],font=[TIMES,ITALIC,10],color=black):
>display([d,f,d1,f1,r1,r2,t1,t2]);
Plot
 

Notar que la región no esta pegada al eje, entonces cuando giremos esa área se generaran secciones transversales que serán coronas o discos  y  el sólido que se formará tendrá cavidades.  

Las coronas tendrán un radio menor de   y = x^2y radio mayor de y = x entonces para calcular el volumen del sólido generado, debemos hacer resta de volumenes.
 

     V =  Volumen del sólido con radio mayor - Volumen del sólido con radio menor 

En nuestro ejemplo:


 

Usando las sentencias del maple, visualizamos el sólido y calculamos el volumen

>VolumeOfRevolution(x,(x^2),x=0..1,output=plot,thickness=3);
 

Plot 

>VolumeOfRevolution(x,(x^2),x=0..1,output=value);

2/15*Pi 


Segundo ejemplo

Ahora observemos lo que sucede si rotamos el área del Primer ejemplo, alrededor del eje y.  

Visualizamos el área y los correspondientes radios de las secciones transversales. 

>a:=plot({x,x^2},x=0..1,thickness=2,color=[green,red],scaling=CONSTRAINED):
>c:=seq(line([i*0.1,i*0.1],[sqrt(i*0.1),i*0.1],color=blue,linestyle=3,thickness=2),i=1..9):
>a1:=plot({-x,x^2},x=-1..0,thickness=2,scaling=CONSTRAINED,color=[red,green]):
>c1:=seq(line([-i*0.1,i*0.1],[-sqrt(i*0.1),i*0.1], color=blue, linestyle=3,thickness=2),i=1..9):
>ra1:=line([0,0.65],[sqrt(0.65),0.65],color=black,linestyle=1,thickness=2):
>ra2:=line([0,0.34],[0.34,0.34],color=black,linestyle=1,thickness=2):
>ti1:=textplot([0.35,0.7,`radio mayor`],font=[TIMES,ITALIC,10],color=black):
>ti2:=textplot([0.17,0.4,`radio menor`],font=[TIMES,ITALIC,10],color=black):
>display([a,c,a1,c1,ra1,ra2,ti1,ti2]);

Plot 

Observe que las secciones transversales que se generan, son discos, con radios mayor y menor en función de y. 

Las coronas tendrán un radio menor de    x = yy radio mayor de   x = sqrt(y), entonces para calcular el volumen del sólido generado, debemos hacer resta de volumenes:

 V =  Volumen del sólido con radio mayor - Volumen del sólido con radio menor 

En nuestro ejemplo: 

 

Nota: Observe que  ahora en la instruccion de maple, se agrega axis=vertical

>VolumeOfRevolution( x, (x^2), x=0..1, axis=vertical, output=plot, thickness=3); 

Plot 

>VolumeOfRevolution( x, (x^2), x=0..1, axis=vertical, output=value);

1/6*Pi 

Observar que aunque rotemos la misma área alrededor de otro eje, el volumen del sólido generado no es el mismo.

Ejercicio: 

Tercer ejemplo

Giramos la región limitada por y = 4-x^2y el eje x, alrededor de la recta  x=3, y calculamos el volumen del sólido. 

>a:=plot({0,4-x^2},x=-2..2,thickness=2,color=red,scaling=CONSTRAINED):    ra1:=line([3,-1],[3,5],color=black,linestyle=1,thickness=3):       ra2:=line([-1,3],[3,3],color=black,linestyle=1,thickness=2):       ra3:=line([0.2,3.96],[3,3.96],color=black,linestyle=1,thickness=2):  ti1:=textplot([1,3.2,`radio mayor`],font=[TIMES,ITALIC,10],color=black): ti2:=textplot([1.2,4.2,`radio menor`],font=[TIMES,ITALIC,10],color=black):

>display([a,ra1,ra2,ra3,ti1,ti2],view=[-3..5,-1..5]);

 

Plot 

Observamos en este caso que el radio mayor es la distancia entre la rama negativa de la parábola  x = -sqrt(4-y)a la recta x=3, es decir 

radio mayor =   3+sqrt(4-y)

y el radio menor es la distancia entre la recta x=3 y la rama positiva de la parábola x = sqrt(4-y)es decir  

radio menor = 3-sqrt(4-y)

Entoces el volumen  es :  



>VolumeOfRevolution(4-x^2,0,x=-2..2, output=plot, axis=vertical,    distancefromaxis=3,thickness=3); 

Plot 

Ejemplos y ejercicios 

Para una rápida visualización de los ejemplos y ejercicios siguientes, puede utilizar la sentencia tutorial

>with(Student[Calculus1]):
>VolumeOfRevolutionTutor();
 

Ejemplos 

1- 

Giramos la región limitada por   f(x) = sen(x), x entre 0 y 2π  en torno al eje x.  

>VolumeOfRevolution(sin(x),x=0..2*Pi,output=plot);
Plot 

2- 

Ahora veamos un semicírculo de radio 4 que rota en torno al eje x , generando una esfera de radio 4. 

 >VolumeOfRevolution(sqrt(16-(x^2)),x=-4..4,output=plot,thickness=2);
Plot

Si queremos calcular el volumen de esta esfera hacemos: 

>VolumeOfRevolution(sqrt(16-(x^2)),x=-4..4,output=value); 

256/3*Pi 

3- 

Ahora generemos un sólido al rotar la misma función    y=sqrt(16-x^2)   limitada por la recta y=2 ,  alrededor del eje x. 

>VolumeOfRevolution(sqrt(16-(x^2)),2,x=-2..2,output=plot,volumeoptions =[style=wireframe],thickness=3); 

Plot

Si observa en el gráfico, se visualizan las curvas que definen el área que rota alrededor del eje x. 

>VolumeOfRevolution(sqrt(16-(x^2)),2,x=-2..2,output=integral);

Int(Pi*(12-x^2), x = -2 .. 2)

>VolumeOfRevolution(sqrt(16-(x^2)),2,x=-2..2,output=value); 

128/3*Pi


4- 

Calculemos el volumen del sólido generado por la rotación del área limitada por  las curvas: 

y=4 / x  ,   x=1,     x=4  que gira alrededor del eje x

>VolumeOfRevolution(4/x,x=1..4,output=plot,title=``,thickness=2,volumeoptions=[colour= green,style=wireframe]);

Plot 

>VolumeOfRevolution(4/x,0,x=1..4,output=integral);

Int(16*Pi/x^2, x = 1 .. 4) 

>VolumeOfRevolution(4/x,0,x=1..4,output=value);

12*Pi 

5- 

Rotamos  el área encerrada  por la recta   y=6 y la parábola  y=  x^2 + 3 , alrededor del eje x.  

>VolumeOfRevolution(6,x^2+3,x=-sqrt(3)..sqrt(3),thickness=5,output=plot); 

Plot 

>VolumeOfRevolution(6,x^2+3,x=-sqrt(2)..sqrt(2),output=integral);

Int(Pi*abs(-27+x^4+6*x^2), x = -2^(1/2) .. 2^(1/2)) 

>VolumeOfRevolution(6,x^2+3,x=-sqrt(2)..sqrt(2),output=value);

222/5*Pi*2^(1/2) 

6 -

Si se gira un círculo no centrado en el origen alrededor, por ejemplo, del eje x, se genera un sólido llamado toro

 Por ejemplo  

>VolumeOfRevolution(sqrt(1-x^2)+3,-sqrt(1-x^2)+3,x=-1..1,output=plot,title=``,volumeoptions=[colour= plum,style=wireframe],volume2options=[colour= plum,style=wireframe], functionoptions=[color=red,thickness=3],function2options=[color=red,thickness=3],scaling=CONSTRAINED);

  Plot

Ejercicios 

En los ejercicios siguientes grafique y calcule analíticamente el volumen del sólido generado al rotar la región dada alrededor del eje dado.